Question

1．已知动圆M恒过F（1，0）且与直线x=-1相切，动圆圆心M的轨迹记为C；直线x=-1与x轴的交点为N，过点N且斜率为k的直线l与轨迹C有两个不同的公共点A，B，O为坐标原点．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程，并求直线l的斜率k的取值范围；
（2）点D是轨迹C上异于A，B的任意一点，直线DA，DB分别与过F（1，0）且垂直于x轴的直线交于P，Q，证明：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$为定值，并求出该定值；
（3）对于（2）给出一般结论：若点$F（{\frac{p}{2}，0}）$，直线$x=-\frac{p}{2}$，其它条件不变，求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值（可以直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）由动圆M恒过F（1，0）且与直线x=-1相切得，点M到F（1，0）与到直线x=-1距离相等，结合抛物线定义可得圆心M的轨迹C的方程；联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得直线l的斜率k的取值范围；
（2）设D（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），写出DA、DB的方程，求出与x=1的交点P、Q的坐标，可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$，结合根与系数的关系及D在抛物线上求得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值；
（3）联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=k（x+\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$ 得，k²x²+（pk²-2p）x$+\frac{{{k^2}{p^2}}}{4}=0$．然后与（2）同法求解$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值．

解答 （1）解：由动圆M恒过F（1，0）且与直线x=-1相切得，点M到F（1，0）与到直线x=-1距离相等，
∴圆心M的轨迹C的方程为：y²=4x；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（{x+1}）\end{array}\right.$得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-（{2{k^2}-4}）\\{x_1}{x_2}=1\end{array}\right.$，
当k=0时，一次方程只有一个根，不成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}k≠0\\△＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{（2{k}^{2}-4）^{2}-4{k}^{4}＞0}\end{array}\right.$，解得k∈（-1，0）∪（0，1）．
∴直线l的斜率k的取值范围为k∈（-1，0）∪（0，1）；
（2）证明：设D（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l_DA：$y-{y_0}=\frac{4}{{{y_0}+{y_1}}}（{x-{x_0}}）$，即l_DA：（y₀+y₁）y=4x+y₀y₁
其与x=1的交点$P（{1，\frac{{{y_0}{y_1}+4}}{{{y_0}+{y_1}}}}）$，
同理l_DB与x=1的交点$Q（{1，\frac{{{y_0}{y_2}+4}}{{{y_0}+{y_2}}}}）$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=1+$$（{\frac{{{y_0}{y_1}+4}}{{{y_0}+{y_1}}}}）•（{\frac{{{y_0}{y_2}+4}}{{{y_0}+{y_2}}}}）=1+$$\frac{{y_0^2{y_1}{y_2}+4{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+16}}{{y_0^2+{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+{y_1}{y_2}}}$．
由（1）中的x₁x₂=1得，${y_1}{y_2}=\sqrt{16{x_1}{x_2}}=4$，代入上式得$\frac{{4y_0^2+4{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+16}}{{y_0^2+{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+4}}=4$．
故$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=1+4=5；
（3）解：联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=k（x+\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$ 得，k²x²+（pk²-2p）x$+\frac{{{k^2}{p^2}}}{4}=0$．
∴${x_1}{x_2}=\frac{p^2}{4}$，得${y_1}{y_2}=\sqrt{4{p^2}{x_1}{x_2}}$=p²，
直线l_DA：$y-{y_0}=\frac{2p}{{{y_0}+{y_1}}}（{x-{x_0}}）$，即l_DA：（y₀+y₁）y=2px+y₀y₁，
得$P（{\frac{p}{2}，\frac{{{y_0}{y_1}+{p^2}}}{{{y_0}+{y_1}}}}）$，$Q（{\frac{p}{2}，\frac{{{y_0}{y_2}+{p^2}}}{{{y_0}+{y_2}}}}）$．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=\frac{p^2}{4}+$$\frac{{y_0^2{y_1}{y_2}+{p^2}{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+{p^2}}}{{y_0^2+{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+{y_1}{y_2}}}$=$\frac{p^2}{4}+{p^2}=\frac{{5{p^2}}}{4}$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=\frac{{5{p^2}}}{4}$．

点评 本题考查直线与抛物线位置关系的，训练了向量法在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．