Question

6．已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切，则$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为5+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：y=ln（x+b）的导数为y′=$\frac{1}{x+b}$，
由切线的方程y=x-a可得切线的斜率为1，
可得切点的横坐标为1-b，切点为（1-b，0），
代入y=x-a，得a+b=1，
∵a、b为正实数，
则$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$=（a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$）=2+3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}{b}}$=5+2$\sqrt{6}$．
当且仅当a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b，即a=$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$，b=3-$\sqrt{6}$时，取得最小值5+2$\sqrt{6}$．
故答案为：5+2$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．