Question

16．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（ t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的坐标方程是ρsin²θ-6cosθ=0．
（1）求曲线 C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；
（2）求直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程；先把直线l的参数方程化为直角坐标方程，再由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直线l的极坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=6x}\\{2\sqrt{3}x-2y-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得${y}^{2}-2\sqrt{3}y-9$=0，由此利用弦长公式能求出|MN|的长．

解答 解：（1）∵曲线C的坐标方程是ρsin²θ-6cosθ=0，
∴ρ²sin²θ-6ρcosθ=0，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=6x．
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（ t为参数），
∴直线l的直角坐标方程为$2\sqrt{3}x-2y-3\sqrt{3}$=0，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴直线l的极坐标方程为2$\sqrt{3}ρ$cosθ-2ρsinθ-3$\sqrt{3}$=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=6x}\\{2\sqrt{3}x-2y-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得${y}^{2}-2\sqrt{3}y-9$=0，
$△=（-2\sqrt{3}）^{2}+4×9$=48＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=2$\sqrt{3}$，y₁y₂=-9，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{12+36}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查曲线直角坐标方程、直线的极坐标方程的求法，考查两线段和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．