Question

8．设S_n，T_n分别是数列{a_n}，{b_n}的前n项和，已知对于任意n∈N^*，都有3a_n=2S_n+3，数列{b_n}是等差数列，且T₅=25，b₁₀=19．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{n（n+1）}$，求数列{c_n}的前n项和R_n，并求R_n的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用数列递推关系与等比数列的通项公式可得a_n．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出b_n．
（II）利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由3a_n=2S_n+3，当n=1时，3a₁=2a₁+3，解得a₁=3；
当n≥2时，3a_n-1=2S_n-1+3，
从而3a_n-3a_n-1=2a_n，即a_n=3a_n-1，∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，
因此a_n=3ⁿ．
设数列{b_n}的公差为d，∵T₅=25，b₁₀=19．
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{b}_{1}+10d=25}\\{{b}_{1}+9d=19}\end{array}\right.$，解得b₁=1，d=2，
因此b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{[3n-（n+1）]•{3}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{3}^{n}}{n}$，
数列{c_n}的前n项和R_n=$（-\frac{3}{1}+\frac{{3}^{2}}{2}）$+$（-\frac{{3}^{2}}{2}+\frac{{3}^{3}}{3}）$+…+$（-\frac{{3}^{n}}{n}+\frac{{3}^{n+1}}{n+1}）$
=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-3．
因为c_n＞0，所以数列{R_n}单调递增．
所以n=1时，R_n取最小值时，故最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、数列的单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．