Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，B，F分别是它的上顶点和右焦点．椭圆C上的点到点F的最短距离为2．圆M是过点B，F的所有圆中面积最小的圆．
（1）求椭圆C和圆M的方程；
（2）从圆外一点P引圆M的切线PQ，切点为Q，且有|PQ|=|PO|，O是坐标原点，求|PF|的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用条件得到关于a，c的方程，解出a，c的值即可求出椭圆C的方程；再利用过B，F的所有圆中，以BF为直径的圆面积最小，求出对应圆M的方程；
（2）先利用条件求得点P在直线x+

3

y=0上，再把|PF|的最小值转化为点F到直线x+

3

y=0的距离即可．

解答：解：（1）依题意有：

c a = 1 2 a-c=2.

（2分）
解得a=4，c=2．得b²=12．
所以椭圆C的方程为：

x2

16

+

y2

12

=1．（4分）
B（0，2

3

），F（0，2），过B，F的所有圆中，
以BF为直径的圆面积最小，
所以圆M的方程为(x-1)2+(y-

3

)2=4．（7分）
（2）设P（x₁，y₁），
则|PQ|²=|PM|²-R²=(x1-1)2+(y1-

3

)2-4，|PQ|²=x₁²+y₁²．
因为|PQ|=|PO|，得x1+

3

y1=0．（10分）
所以点P在直线x+

3

y=0上，
故|PF|的最小值即为点F到直线x+

3

y=0的距离（12分）
故|PF|的最小值

|2 3 |

1+3

=

3

．（14分）

点评：本题是对圆和椭圆的综合考查．在做这一类型题时，一定要认真读题，理解题意．