Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，2），且离心率e=

2

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，在椭圆C上任意取不同两点A，B，点A关于x轴的对称点为A′，若直线AB过定点T（2，0），求证：直线A′B过定点P（4，0）．

Answer 1

分析：（1）由于椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，2），且离心率e=

2

2

．可得

c a = 2 2 b=2 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则A′（x₁，-y₁）．由题意可知直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为：y=k（x-2），与联立与椭圆的方程联立可得根与系数的关系．
由直线A′B方程：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，令y=0，化为x=

y1x2+y2x1

y1+y2

，再利用y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
分别得到y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁x₂+y₂x₁=kx₂（x₁-2）+kx₁（x₂-2）=2k[x₁x₂-（x₁+x₂）]．即可证明．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，2），且离心率e=

2

2

．
∴

c a = 2 2 b=2 a2=b2+c2

，解得

b=c=2 a=2 2

．
∴椭圆C的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则A′（x₁，-y₁）．
由题意可知直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为：y=k（x-2），
联立

y=k(x-2) x2 8 + y2 4 =1

，化为（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
∴x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-8

1+2k2

．
由直线A′B方程：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，化为x=

y1x2+y2x1

y1+y2

，
∵y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=

-4k

1+2k2

．
y₁x₂+y₂x₁=kx₂（x₁-2）+kx₁（x₂-2）=2k[x₁x₂-（x₁+x₂）]=2k•(

8k2-8

1+2k2

-

8k2

1+2k2

)=

-16k

1+2k2

．
∴x=

-16k 1+2k2

-4k 1+2k2

=4．即直线A′B过定点P（4，0）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线过定点问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．