Question

设同时满足条件：①

bn+bn+2

2

≥bn+1；②b_n≤M（n∈N₊，M是与n无关的常数）的无穷数列{b_n}叫“嘉文”数列．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=

a

a-1

(an-1)（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2Sn

an

+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值，并证明此时{

1

bn

}为“嘉文”数列．

Answer 1

（1）因为S1=

a

a-1

(a1-1)，所以a₁=a
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

a

a-1

an-

a

a-1

an-1

an

an-1

=a，即{a_n}以a为首项，a为公比的等比数列．
∴an=a•an-1=an；         …（4分）
（2）由（1）知，bn=

2× a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

(a-1)an

，
若{b_n}为等比数列，则有b22=b1•b3，而b₁=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

故(

3a+2

a

)2=3•

3a2+2a+2

a2

，解得a=

1

3

…（7分）
再将a=

1

3

代入得：bn=3n，其为等比数列，所以a=

1

3

成立…（8分）
由于①

1 bn + 1 bn+2

2

=

1 3n + 1 3n+2

2

＞

2 1 3n • 1 3n+2

2

=

1

3n+1

=

1

bn+1

…（10分）
（或做差更简单：因为

1 bn + 1 bn+2

2

-

1

bn+1

=

5

3n+2

-

1

3n+1

=

2

3n+2

＞0，所以

1 bn + 1 bn+2

2

≥

1

bn+1

也成立）
②

1

bn

=

1

3n

≤

1

3

，故存在M≥

1

3

；
所以符合①②，故{

1

bn

}为“嘉文”数列…（12分）