Question

已知函数F(x)=kx2-2

4+2m-m2

x，G(x)=-

1-(x-k)2

(m，k∈R)
（1）若m，k是常数，问当m，k满足什么条件时，函数F（x）有最大值，并求出F（x）取最大值时x的值；
（2）是否存在实数对（m，k）同时满足条件：（甲）F（x）取最大值时x的值与G（x）取最小值的x值相同，（乙）k∈Z？
（3）把满足条件（甲）的实数对（m，k）的集合记作A，设B={（m，k）|k²+（m-1）²≤r²，r＞0}，求使A⊆B的r的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意函数F（x）有最大值，应满足

k＜0 4+2m-m2≥0

，即二次函数有最大值，解得k、m、x的取值；
（2）由函数F（x）有最大值，G（x）有最小值；得m、k的值，求出满足条件的实数对（m，k）；
（3）由A⊆B知，k⁴+（m-1）²=5成立时，k²+（m-1）²≤r²恒成立，求出r的取值范围．

解答：解：（1）∵函数F(x)=kx2-2

4+2m-m2

x，
∴当

k＜0 4+2m-m2≥0

时，
解得k＜0且1-

5

≤m≤1+

5

；
即当x=

4+2m-m2

k

时，F（x）有最大值．
（2）∵函数F(x)=kx2-2

4+2m-m2

x，
当x=

4+2m-m2

k

时，F（x）有最大值；
函数G（x）=-

1-(x-k)2

，
x=k时，G（x）有最小值；
∴

4+2m-m2

k

=k，得4+2m-m²=k⁴，
∴k⁴+（m-1）²=5，其中k为负整数，
当k=-1时，m=-1或者3，
∴存在实数对（3，-1），（-1，-1）满足条件．
（3）由条件A⊆B知，
当k⁴+（m-1）²=5成立时，k²+（m-1）²≤r²恒成立，
因此，r2≥-k4+k2+5=-(k2-

1

2

)2+

21

4

恒成立，
当k2=

1

2

时，右边取得最大值

21

4

，
因此r2≥

21

4

，
∵r＞0，
∴r≥

21

2

；
∴r的取值范围是{r|r≥

21

2

}．

点评：本题考查了函数的最值以及函数与不等式的综合应用，是综合性的题目．