Question

（2004•黄浦区一模）已知函数f(x)=k+

x

，存在区间[a，b]⊆[0，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域仍是[a，b]，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：根据函数的单调性以及f（x）在[a，b]上的值域仍是[a，b]建立等式关系，从而可知

a

、

b

是方程t²-t-k=0的两个不相等的非负实根，然后建立关系式即可．

解答：解：函数f(x)=k+

x

在[0，+∞）上为增函数（2分）
f（x）在[a，b]（⊆[0，+∞））上的值域为[a，b]，其充要条件是

f(a)=a f(b)=b b＞a≥0

?

a- a -k=0 b- b -k=0 b＞a≥0

?b＞a≥0，

a

、

b

是方程t²-t-k=0的两个不相等的非负实根．（5分）
故存在[a，b]（⊆[0，+∞）），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]的充要条件
是

-k≥0 △=1+4k＞0

?-

1

4

＜k≤0（8分）

点评：本题主要考查了函数的值域，以及函数的单调性和充要条件的理解，属于中档题．