Question

已知函数f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3，g（x）=（3-k²）（log_ax+log_xa），（其中a＞1），设t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，若存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，试求k的范围．

Answer 1

分析：（I）由t=log_ax+log_xa，可得(logax)2+(logxa)2=t²-2，(logax)3+(logxa)3=t³-3t，进而可将f（x）表示成t的函数h（t），进而利用导数法，可判断出函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立等价于f（x）-g（x）的最大值大于0，构造函数m（t）=f（x）-g（x）=-t³+kt²+k²t-2k，（t≥2），利用导数法，分类讨论函数的最大值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵t=log_ax+log_xa，a＞1，
∴(logax)2+(logxa)2=(logax +logxa)2-2=t²-2，
(logax)3+(logxa)3=(logax +logxa) [(logax +logxa)2-3]=t³-3t，
∴f（x）可转化为：h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）
∴h′（t）=-3t²+2kt+3…（3分）
设t₁，t₂是h′（t）=0的两根，
则t₁•t₂=-1＜0，
∴h′（t）=0在定义域内至多有一解，
欲使h（t）在定义域内有极值，只需h′（t）=-3t²+2kt+3=0在（3，+∞）内有解，
且h′（t）的值在根的左右两侧异号，
∴h′（2）=4k-9＞0
解得k＞

9

4

…（6分）
综上：当k＞

9

4

时h（t）在定义域内有且仅有一个极值，当k≤

9

4

时h（t）在定义域内无极值．
（Ⅱ）∵存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立等价于f（x）-g（x）的最大值大于0，
∵令m（t）=f（x）-g（x）=-t³+kt²+k²t-2k，（t≥2）
∴m′（t）=-3t²+2kt+k²，
令m′（t）=0，解得t=k或t=-

k

3

当k＞2时，m（t）_max=m（k）＞0得k＞2；
当0＜k≤2时，m（t）_max=m（2）＞0得

17 -1

2

＜k≤2…（12分）
当k=0时，m（t）_max=m（2）＜0不成立 …（13分）
当-6≤k＜0时，m（t）_max=m（2）＞0得-6≤k＜

- 17 -1

2

；
当k＜-6时，m（t）_max=m（-

k

3

）＞0得k＜-6；
综上得：k＜

- 17 -1

2

或k＞

17 -1

2

…（16分）

点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，函数的极值，函数的最值，存在性问题，是函数图象和性质与导数的综合应用，难度较大，属于难题