Question

（理科）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

a

a-1

(an-1)(a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=

2Sn

an

+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足（2）的条件下，记Cn=

1

1+an

+

1

1-an+1

，设数列{C_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＞2n-

1

3

．

Answer 1

（1）由（a-1）S_n=aa_n-a ①
当n≥2时，（a-1）S_n-1=aa_n-1-a ②
由①-②得n≥2时，（a-1）a_n=aa_n-aa_n-1即a_n=aa_n-1
又a₁=a≠0
∴数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列
∴a_n=aⁿ
（2）bn=

2Sn

an

+1=

2a

1-a

(

1

a

)n+

3a-1

a-1

b1=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

又b₂²=b₁•b₃得（3a+2）²=3（3a²+2a+2）解得a=

1

3

又a=

1

3

时，bn=3n显然为等比数列
故a=

1

3

（3）由（2）得Cn=

3n

3n+1

+

3n+1

3n+1-1

=2-

2(3n-1)

(3n+1-1)(3n+1)

又

2(3n-1)

(3n+1-1)(3n+1)

＜

2(3n-1)

(3n+1-3)(3n+1)

=

2 3

3n+1

＜

2 3

3n

∴

n

i=1

2(3i-1)

(3i+1-1)(3i+1)

＜

n

i=1

2 3

3i

=

2 3 × 1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

＜

1

3

∴Tn＞2n-

1

3