Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求平面PED与平面PBC所成的二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明：过E作EG∥BC交CD与G，则G为CD的中点，连接FG，因为F为PD的中点，所以FG∥PC，通过面面平行的判定定理和性质可证；
（II）建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，通过平面的法向量的夹角求平面的夹角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：过E作EG∥BC交CD与G，则G为CD的中点，连接FG，因为F为PD的中点，所以FG∥PC，
所以平面EFG∥平面PBC，
EF?平面EFG，
所以EF∥平面PBC．
（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系，

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．
所以A（0，0，0），B（1，

3

，0），D（-1，

3

，0），C（0，2

3

，0），E（

1

2

，

3

2

，0），P（0，0，1）
所以

EP

=（-

1

2

，-

3

2

，1），

DE

=（

3

2

，-

3

2

，0），

CB

=（1，-

3

，0），

BP

=（-1，-

3

，1），
平面PDE的一个法向量为

n

=（x，y，z），平面PBC的一个法向量为

m

=（a，b，c）…（6分）
则

n • EP =0 n • DE =0

，即

1 2 x+ 3 2 y-z=0 3 2 x- 3 2 y=0

，取x=1，则

n

=（1，

3

，2）；

m • BP =0 m • CB =0

即

a+ 3 b-c=0 a- 3 b=0

取b=1，则

m

=（

3

，1，2

3

），
所以

n

•

m

=6

3

，
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

6 3

8 2

=

3 6

8

，
所以平面PED与平面PBC所成的二面角（锐角）的余弦值

3 6

8

．

点评：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，适当的建立坐标系，注意向量法的合理运用．