Question

20．下列图象中，有一个是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+（{a^2}-1）x+1（a∈$R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（-1）=-$\frac{1}{3}$
A、  B、   C、   D、

Answer 1

分析 求出导函数，根据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，可得函数不是偶函数，得到函数的图象．再根据对称轴以及f′（0）=0求得a的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（-1）的值．

解答 解：∵f′（x）=x²+2ax+（a²-1），∴导函数f′（x）的图象开口向上．
又∵a≠0，∴f（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称，
其图象必为第三张图．由图象特征知f′（0）=0，且对称轴为x=-a＞0，∴a=-1，f（x）=$\frac{1}{3}$•x³-x²+1．
故f（-1）=-$\frac{1}{3}$-1+1=-$\frac{1}{3}$，
故答案为：-1．

点评 本题考查导函数的运算法则、二次函数的图象与二次函数系数的关系：开口方向与二次项系数的符号有关、对称轴公式，属于中档题．