Question

20．已知抛物线C：y=mx²，直线l：2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，若Q在以AB为直径的圆上，求m的值．

Answer 1

分析 联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=m{x}^{2}}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，得mx²-2x-2=0，△=（-2）²-4m（-2）＞0，⇒m＞-$\frac{1}{2}$．设A（${x}_{1}，m{{x}_{1}}^{2}）$，B（x₂，mx${{\;}_{2}}^{2}$），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{m}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{m}}\end{array}\right.$，P（$\frac{1}{m}$，y_P），Q（$\frac{1}{m}，\frac{1}{m}$）．
由Q在以AB为直径的圆上，则$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，得$-\frac{4}{{m}^{2}}-\frac{6}{m}+4=0$，解得m=2，$或m=-\frac{1}{2}$（舍去）

解答 解：联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=m{x}^{2}}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，得mx²-2x-2=0
△=（-2）²-4m（-2）＞0，⇒m＞-$\frac{1}{2}$．
设A（${x}_{1}，m{{x}_{1}}^{2}）$，B（x₂，mx${{\;}_{2}}^{2}$），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{m}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{m}}\end{array}\right.$
∴线段AB的中点P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{m{{x}_{1}}^{2}+m{{x}_{2}}^{2}}{2}$），即P（$\frac{1}{m}$，y_P），Q（$\frac{1}{m}，\frac{1}{m}$）．
$\overrightarrow{QA}=（{x}_{1}-\frac{1}{m}，m{{x}_{1}}^{2}-\frac{1}{m}$），$\overrightarrow{QB}=（{x}_{2}-\frac{1}{m}，m{{x}_{2}}^{2}-\frac{1}{m}）$，
若Q在以AB为直径的圆上，则$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，
即（${x}_{1}-\frac{1}{m}$）（x₂-$\frac{1}{m}$）+（m${{x}_{1}}^{2}-\frac{1}{m}$）（$m{{x}_{2}}^{2}-\frac{1}{m}$）=0．
化简得$-\frac{4}{{m}^{2}}-\frac{6}{m}+4=0$，解得m=2，$或m=-\frac{1}{2}$（舍去）
∴m=2

点评 本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．