Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M为棱BB₁上的一点，当

B1M

MB

的值为多少时能使D₁M⊥平面EFB₁？试给出证明．

Answer 1

分析：（1）根据正方体的性质，根据正方体的底面的两条对角线垂直和三角形的中位线平行于底边，得到线与线垂直，得到线面垂直，得到∠B₁GB是二面角B₁-EF-B的平面角，求出角的正切值．
（2）当两条线的比值等于1时满足条件，下面证明这个结论成立，要证明一条直线垂直于一个平面，需要从平面上找两条相交直线与已知直线垂直，在平面上找到B₁E，EF与已知直线垂直．

解答：解：（1）在底面ABCD中，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴BG⊥EF，连接B₁G．
又∵BB₁⊥ABCD，∴B₁G⊥EF．
则∠B₁GB是二面角B₁-EF-B的平面角，BG=

1

4

BD=

2

4

a，
tan∠B1GB=

B1B

BG

=2

2

．
（2）当

B1M

MB

=1时满足题意．
证明：D₁A₁⊥面AB₁，知D₁M在面AB₁的射影是A₁M，
∵△A₁MB≌△B₁EB，∴A₁M⊥B₁E，即D₁M⊥B₁E．
因为DD₁⊥平面ABCD，所以BD为D₁M在平面ABCD内射影，
连接AC，因为E、F为中点，所以AC∥EF，
又因为BD⊥EF，所以D₁M⊥EF．又因为B₁E∩EF=E．
∴D₁M⊥平面EFB₁

点评：本题考查直线与平面垂直的判断和求二面角的正切值，本题是利用几何方法来解题的，没有涉及空间向量，解题的关键是做出二面角的平面角．