Question

【题目】如图1所示，在矩形中，，，为中点，将沿折起，使点到点处，且平面平面，如图2所示.

（1）求证：：

（2）在棱上取点，使平面平面，求平面与所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）余弦值为.

【解析】

(1)在矩形中,连接交于点,则由可推出,因此有,故在翻折后的四棱锥中,有,据此推出平面,从而有;

(2)以点为原点,方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,再过点作于点,由平面平面可推出平面,即有,结合,可知平面,即,设,再结合可求出,最后再利用空间向量法求二面角的余弦值即可.

(1)在矩形中,连接交于点,

由题知,,,

所以,即,

又,所以,

所以,即,

故在翻折后的四棱锥中,有,

又,所以平面,

又平面,所以;

(2)如图所示,以点为原点,方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,

在矩中,经计算可得,

因此,

过点作于点,

因为平面平面,平面平面,

所以平面,所以,

又由(1)知,且,

所以平面,

所以,即有,

因为点在上,设,则,

由解得,即,

设平面的一个法向量为,

,

由,

令,即,

又平面的一个法向量为,

所以,

所以平面与所成锐二面角的余弦值为.