Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线，分别与椭圆交于，及，点，若，的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用椭圆的定义求出，根据，即可求解.

（2）分类讨论当斜率不存在时，求出四边形面积；当斜率存在时，设方程为，联立椭圆及方程，消去，求出，同理求出，表示出四边形的面积，利用基本不等式即可求解.

（1）由椭圆定义可知的周长，又，

所以，故椭圆的标准方程为.

（2）①当斜率不存在时，此时点纵坐标，

所以，，四边形；

②当斜率存在时，设方程为，设，，

联立椭圆及方程，消去得，

，

，，

所以

，

又斜率，同理，，

则四边形

，

当且仅当即时取“”，此时.

综上：四边形面积的最小值为.