【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,
,侧面
为等边三角形且垂直于底面
,
是
的中点.
(1)在棱上取一点
使直线
∥平面
并证明;
(2)在(1)的条件下,当棱上存在一点
,使得直线
与底面
所成角为
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)上取中点
,证明见详解;(2)
【解析】
(1)找上取中点
,由线线平行推证线面平行;
(2)根据线面角的大小找到棱长的等量关系,再根据三垂线定理,找出二面角的平面角,在三角形中求解余弦值即可.
(1)在上取中点
,在
上取中点
,连接
,作图如下:
由于平行且等于
,
平行且等于
,
所以平行且等于
,
所以四边形是平行四边形,
所以∥
.
直线,
,
所以∥平面
.
(2)取中点
,连接
,
由于为正三角形
∴
又∵平面平面
,平面
平面
∴平面
,
连接,四边形
为正方形。
∵平面
,
∴平面平面
而平面平面
过作
,垂足为
∴平面
∴为
与平面
所成角,
∴
在中,
,
∴,
设,
,
,
∴,
∴
在中,
,
∴
∴,
,
过点H作HN垂直于CD,垂足为N,连接MN,HN
因为MH平面ABCD,则
即为所求二面角的平面角,
在中,因为
,HN=FC=
,
由勾股定理解得
故
故二面角的余弦值为
.
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【题目】某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);
(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=asinθ(a≠0).
(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;
(2)设直线l截圆C的弦长是半径长的倍,求a的值.
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【题目】如图,矩形中,
,
是
边上异于端点的动点,
于点
,将矩形
沿
折叠至
处,使面
面
.点
分别为
的中点.
(1)证明://面
;
(2)设,当x为何值时,四面体
的体积最大,并求出最大值.
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【题目】2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出
的最小值.(结论不要求证明)
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【题目】已知抛物线(
)上的两个动点
和
,焦点为F.线段
的中点为
,且点到抛物线的焦点F的距离之和为8
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若线段的垂直平分线与x轴交于点C,求
面积的最大值.
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