Question

【题目】设函数.

（1）证明:，；

（2）令

①求的最大值；

②如果，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①的最大值为；②证明见解析．

【解析】

（1）令，则，利用导数求出函数的单调性与最值，由此可证明结论；

（2）由题意得，，

①利用导数求出函数的单调性，从而得到函数的极值与最值；

②由题意不妨设，又，可得，令，，利用导数可得函数在上单调递增，从而可推出，结合条件可得，易得，从而借助函数在上单调递增即可证明．

（1）证明：令，则，

由得，由得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴函数在处取得极大值，也是最大值，

∴，

即，；

（2）解：，，

①由得，由得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴函数在处取得极大值，也是最大值，

∴的最大值；

②由，不妨设，又，

∵当时，，且，

∴，

令，，

则，

∵，

∴，，

∴，

∴函数在上单调递增，

又，

∴当时，，

即，则，

又，则，

∵，∴，即，

而函数在上单调递增，

∴，

∴．