Question

19．设函数f（x）=|x+m|．
（Ⅰ） 解关于m的不等式f（1）+f（-2）≥5；
（Ⅱ）当x≠0时，证明：$f（{\frac{1}{x}}）+f（{-x}）≥2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m-2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（-2）≥5等价于|m+1|+|m-2|≥5，
可化为$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-1}\\{-（{m+1}）-（{m-2}）≥5}\end{array}}\right.$，解得m≤-2；
或$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤m≤2}\\{（{m+1}）-（{m-2}）≥5}\end{array}}\right.$，无解； 
或$\left\{{\begin{array}{l}{m＞2}\\{（{m+1}）+（{m-2}）≥5}\end{array}}\right.$，解得m≥3；
综上不等式解集为（-∞，-2]∪[3，+∞）…（5分）
（Ⅱ）证明：当x≠0时，$|{\frac{1}{x}}|＞0$，|x|＞0，
$f（{\frac{1}{x}}）+f（{-x}）=|{\frac{1}{x}+m}|+|{-x+m}|≥|{（{\frac{1}{x}+m}）-（{-x+m}）}|≥|{\frac{1}{x}+x}|=|{\frac{1}{x}}|+|x|≥2$，
…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．