Question

14．如图，三棱台ABC-DEF中，BE⊥底面DEF，AB=BE=$\frac{1}{2}$DE=1，∠ABC=90°．
（1）求证：AD⊥平面AEF；
（2）若二面角E-AC-F的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求EF．

Answer 1

分析 （1）以E为原点，ED为x轴，EF为y轴，EB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AD⊥平面AEF．
（2）求出平面EAC的法向量和平面ACF的法向量，由二面角E-AC-F的正弦值，利用向量法能求出EF的长．

解答 证明：（1）以E为原点，ED为x轴，EF为y轴，EB为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，1），D（2，0，0），E（0，0，0），设F（0，t，0），
则$\overrightarrow{AD}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{EA}$=（1，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（0，t，0），
$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EA}$=1-1=0，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EF}$=0，
∴AD⊥EA，AD⊥EF，
∵EA∩EF=E，∴AD⊥平面AEF．
解：（2）∵三棱台ABC-DEF中，△ABC∽△DEF，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，∴C（0，$\frac{t}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{EA}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1$\frac{t}{2}$，0），$\overrightarrow{AF}$=（-1，t，-1），
设平面EAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EA}=x+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-x+\frac{t}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{2}{t}$，-1），
设平面ACF的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-a+\frac{t}{2}b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-a+tb-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{2}{t}$，1），
∵二面角E-AC-F的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{4}{{t}^{2}}}{2+\frac{4}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
解得t=2，或t=-2（舍），
∴EF的长为2．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．