Question

9．已知曲线C：ρ=2cosθ，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t是参数）．
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C：ρ=2cosθ，化为普通方程，然后转化为参数方程，消去参数可得直线l的普通方程．
（2）（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d．则|PA|=$\frac{d}{sin45°}$，其中φ为锐角，且tan α=$\frac{3}{4}$．利用正弦函数的单调性即可得出最值．

解答 解：曲线C：ρ=2cosθ，可得ρ²=2ρcosθ，所以x²+y²=2x，
即：（x-1）²+y²=1，
曲线C的参数方程，$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ为参数．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t是参数）．
消去参数t，可得：3x+4y-12=0．
（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d=$\frac{1}{5}$|3cosθ+4sinθ-9|．
则|PA|=$\frac{d}{sin45°}$=$\sqrt{2}$|sin（θ+φ）-$\frac{9}{5}$|，其中φ为锐角，且tan φ=$\frac{3}{4}$．
当sin（θ+φ）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为$\frac{14\sqrt{2}}{5}$．
当sin（θ+φ）=1时，|PA|取得最小值，最小值为$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．