Question

4．如图，⊙O的半径OC垂直于直径AB，M为BO上一点，CM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交AB的延长线于P．
（1）求证：PM²=PB•PA；
（2）若⊙O的半径为2$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{3}$OM，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）连结ON，运用等腰三角形的性质和圆的切割线定理，即可得到PM²=PB•PA；
（2）在Rt△COM中，由勾股定理可得CM，求得BM，AM，根据相交弦定理可得：MN•CM=BM•AM，代入计算即可得到MN的长．

解答 解：（1）证明：连结ON，则ON⊥PN，
且△OCN为等腰三角形，则∠OCN=∠ONC，
∵∠PMN=∠OMC=90°-∠OCN，∠PNM=90°-∠ONC，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
由条件，根据切割线定理，有PN²=PB•PA，
所以PM²=PB•PA，
（2）OM=2，半径为2$\sqrt{3}$，
在Rt△COM中，$CM=\sqrt{O{C^2}+O{M^2}}=4$．
$BM=OB-OM=2\sqrt{3}-2$，
$AM=OA+OM=2\sqrt{3}+2$，
根据相交弦定理可得：MN•CM=BM•AM，
可得MN=$\frac{BM•AM}{CM}$=$\frac{（2\sqrt{3}-2）×（2\sqrt{3}+2）}{4}$=2．

点评 本题考查圆的切割线定理、相交弦定理和勾股定理，以及等腰三角形的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．