Question

13．设P是曲线$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.$（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为8x²-4y²=1．

Answer 1

分析 由sec²θ-tan²θ=1，可得曲线的方程为2x²-y²=1，设P（x₀，y₀），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．

解答 解：曲线$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.$（θ为参数），即有
$\left\{\begin{array}{l}{secθ=\sqrt{2}x}\\{tanθ=y}\end{array}\right.$，
由sec²θ-tan²θ=1，可得曲线的方程为2x²-y²=1，
设P（x₀，y₀），M（x，y），
可得$\left\{\begin{array}{l}{2x={x}_{0}}\\{2y={y}_{0}}\end{array}\right.$，代入曲线方程，可得
2x₀²-y₀²=1，即为2（2x）²-（2y）²=1，
即为8x²-4y²=1．
故答案为：8x²-4y²=1．

点评 本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．