Question

18．如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，F是AD的中点．
（1）求证：AB∥平面CEF；
（2）求点A到平面CEF的距离．

Answer 1

分析 （1）连结BD，交CE于点H，连结FH，从而FH是△ABD的中位线，从而证明AB∥平面CEF；
（2）设A到平面CEF的距离为d，利用等积法进行转化解方程V_A-CEF=$\frac{1}{3}$dS_△CEF=$\frac{1}{3}$|DE|•S_△ACF，即可得到结论．

解答 解：（1）证明：如图，连结BD，交CE于点H，连结FH，
∵四边形BCDE为矩形，
∴H是线段BD的中点，
又∵点F是线段AD的中点，
∴FH是△ABD的中位线，
∴FH∥AB，
又∵FH?平面CEF，AB?平面CEF；
∴AB∥平面CEF；
（2）设A到平面CEF的距离为d，
则V_A-CEF=$\frac{1}{3}$dS_△CEF=$\frac{1}{3}$|DE|•S_△ACF，
∵CF=$\sqrt{2}$，CE=2$\sqrt{5}$，EF=3$\sqrt{2}$，
∴CF⊥EF，
S_△CEF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=3，
则d=$\frac{4}{3}$，
即点A到平面CEF的距离是$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定以及点到平面的距离的计算，利用几何体的体积法是求点到平面距离中常用的方法，属于中档题．