Question

10．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|，f（x）≤|x-4|的解集为A，若[1，2]⊆A，则实数a的取值范围为[-3，0]．

Answer 1

分析 通过对a取不同的值，求出A，结合集合的包含关系，求出a的范围即可．

解答 解：∵函数f（x）=|x+a|+|x-2|，
设h（x）=f（x）-|x-4|=|x+a|+|x-2|-|x-4|，
①当a=0时，h（x）=|x|+|x-2|-|x-4|，
h（-2）=2+4-6=0，
h（0）=0+2-4=-2，
h（2）=2+0-2=0，
h（4）=4+2-0=6，
∴函数h（x）图象由点A（-2，0），B（0，-2），C（2，0），D（4，6）连接起来，
可见h（x）≤0的解集为-2≤x≤2，包含[1，2]，
②将A右移3个单位，
即a=-3时，h（x）=|x-3|+|x-2|-|x-4|，
h（1）=2+1-3=0，
h（2）=1+0-2=-1，
h（3）=0+1-1=0，
h（4）=1+2-0=3，
∴A（1，0），B（2，-1），C（3，0），D（4，3），
h（x）≤0的解集为1≤x≤3，包含[1，2]，
∴-3≤a≤0，
故答案为：[-3，0]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及集合的包含关系，是一道中档题．