Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），cos²（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），$\sqrt{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t）．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）当t∈[-2，0]时，求函数g（t）的解析式；
（3）设函数h（x）=2^|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中实数k为参数．，满足关于t的不等式$\sqrt{2}$k-5g（t）≤0有解，若对任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积运算，二倍角公式及变形、两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的对称轴求出函数f（x）的对称轴方程；
（2）由（1）求出函数的周期性，由正弦函数的图象画出f（x）的图象，根据题意和图象对t分类讨论，由正弦函数的性质分别求出函数f（x）的最值，以及g（t）的解析式；
（3）由题意可得函数H（x）=x|x-k|+2k-8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集，分类讨论求得k的范围．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），cos²（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），$\sqrt{2}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）cos（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）+$\sqrt{2}$cos²（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（\frac{π}{2}x-\frac{π}{4}）$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$[1+cos（$\frac{π}{2}x-\frac{π}{4}$）]=$sin\frac{π}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由$\frac{π}{2}x=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$得，x=1+2k（k∈Z）
∴函数f（x）的对称轴方程是x=1+2k（k∈Z）；
（2）由（1）得，f（x）=$sin\frac{π}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期是4，
由t∈[-2，0]得，t+1∈[-1，1]，
画出函数f（x）的部分图象，如右图，
当-2≤t＜-$\frac{3}{2}$，时，f（x）在区间[t，t+1]上，
最小值为m（t）=$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，
最大值为M（t）=f（t）=sin$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴g（t）=M（t）-m（t）=1+sin$\frac{πt}{2}$；
当-$\frac{3}{2}$≤t＜-1时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为m（t）=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
最大值为M（t）=f（t+1）=sin$\frac{πt+π}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=cos$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴g（t）=M（t）-m（t）=1+cos$\frac{πt}{2}$，
当-1≤t≤0时，在区间[t，t+1]上，最小值为m（t）=f（t）=sin$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
最大值为M（t）=f（t+1）=sin$\frac{πt+π}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=cos$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴g（t）=M（t）-m（t）=cos$\frac{πt}{2}$-sin$\frac{πt}{2}$=$\sqrt{2}cos（\frac{πt}{2}+\frac{π}{4}）$，
综上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{1+sin\frac{πt}{2}，-2≤t＜-\frac{3}{2}}\\{1+cos\frac{πt}{2}，-\frac{3}{2}≤t＜-1}\\{\sqrt{2}cos（\frac{πt}{2}+\frac{π}{4}），-≤t≤0}\end{array}\right.$；
（3）函数f（x）=sin$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的最小正周期为4，
∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t）．
函数h（x）=2^|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，
对任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，
即函数H（x）=x|x-k|+2k-8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集．
∵h（x）=|2^|x-k|=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-k}，x≥k}\\{{2}^{k-x}，x＜k}\end{array}\right.$，
①当k≤4时，h（x）在（-∞，k）上单调递减，在[k，4]上单调递增．
故h（x）的最小值为h（k）=1；
∵H（x）在[4，+∞）上单调递增，故H（x）的最小值为H（4）=8-2k．
由8-2k≥1，求得k≤$\frac{7}{2}$．
②当4＜k≤5时，h（x）在（-∞，4]上单调递减，h（x）的最小值为h（4）=2^k-4，
H（x）在[k，4]上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，
故H（x）的最小值为H（k）=2k-8，由$\left\{\begin{array}{l}{4＜k≤5}\\{2k-8≥{2}^{k-4}}\end{array}\right.$得，k=5，
综上可得，k的范围为（-∞，$\frac{7}{2}$]∪{5}．

点评 本题考查向量的数量积运算，三角恒等变换中的公式，正弦函数的图象与性质，指数函数的图象特征，函数的能成立、函数的恒成立问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，化简、变形能力，属于难题．