Question

3．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）外一点P（x₀，y₀），求证：方程（$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$-1）（$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$-1）=（$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$-1）²表示过点P的椭圆的两条切线．

Answer 1

分析 设经过点P的椭圆的切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），把y=y₀+kx-kx₀，代入椭圆方程可得：b²x²+a²$（kx+{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$=a²b²，展开可得△=0，化为：$（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）{k}^{2}$+2x₀y₀k+${b}^{2}-{y}_{0}^{2}$=0，把k=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$（x≠x₀）代入上式化简整理即可得出．

解答 证明：设经过点P的椭圆的切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），
把y=y₀+kx-kx₀，代入椭圆方程可得：b²x²+a²$（kx+{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$=a²b²，
展开为：（b²+a²k²）x²+2a²k（y₀-kx₀）x+${a}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-a²b²=0，
∵直线与椭圆相切，∴△=$4{a}^{4}{k}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-4（b²+a²k²）[${a}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-a²b²]=0，
化为：$（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）{k}^{2}$+2x₀y₀k+${b}^{2}-{y}_{0}^{2}$=0，
把k=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$（x≠x₀）代入上式可得：化为：$（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$×$（\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}）^{2}$+2x₀y₀×$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$+${b}^{2}-{y}_{0}^{2}$=0，
化简整理即可得：方程（$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$-1）（$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$-1）=（$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$-1）²表示过点P的椭圆的两条切线．

点评 本题考查了直线与椭圆相切的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．