Question

11．如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若AB=2PC=$\sqrt{2}$，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥平面PCG，然后根据线面垂直的性质即可证明AB⊥PC．
（2）根据三棱锥的体积公式先求出底面积和高，进行求解即可．

解答 证明：（1）取AB的中点G，连结PG，CG．
∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴PG⊥AB，CG⊥AB，
∵PG∩CG=G，且PG?平面PCG，CG?平面PCG，
∴AB⊥平面PCG，
又∵PC?平面PCG，
∴AB⊥PC…（6分）
解：（2）在等腰直角三角形PAB中，AB=$\sqrt{2}$，G是斜边AB的中点，
∴PG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，同理CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴△PCG是等边三角形，
∴S_△PCG=$\frac{1}{2}$PC•CGsin60°=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∵AB⊥平面PCG，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△PCG•AB=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{8}×$$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{24}$…（12分）

点评 本题主要考查线面垂直的性质定理的应用以及三棱锥体积的计算，根据相应的性质定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．