Question

3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=a-2t}\end{array}\right.$（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．若直线l被圆C截得的弦长为$\sqrt{11}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 把参数方程与极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可得出．

解答 解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=a-2t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t可得：直线的直角坐标系方程是：2x+y-a-2=0，
圆C的方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
直角坐标系方程是：x²+y²=4x，配方为（x-2）²+y²=4，可得圆心（2，0），半径r=2．
设圆心到直线l的距离为d，d=$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{11}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
又d=$\frac{|4-a-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2-a|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴a=2$±\frac{5}{2}$，∴a=$\frac{9}{2}$，或$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．