Question

14．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=$\frac{1}{3}$DB，点C为圆O上一点，且BC=$\sqrt{3}$AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．
（1）再BC上找一点E，使BC⊥平面PDE，并求出$\frac{CE}{BE}$的值；
（2）求平面PAC与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，推导出AC⊥BC，CD⊥AO．PD⊥平面ABC，从而PD⊥CD，CD⊥平面PAB，过D作DE⊥BC，交BC于E，由此能求出结果．
（2）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAC与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．

解答 解：（1）连接OC，由AD=$\frac{1}{3}$BD知，点D为AO的中点
又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC
∵$\sqrt{3}$AC=BC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，设AD=1，则BD=3，
∵BC=$\sqrt{3}$AC，∴$\sqrt{9+C{D}^{2}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{1+C{D}^{2}}$，解得CD=$\sqrt{3}$，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
过D作DE⊥BC，交BC于E，连结PE，
则BC⊥平面PDE，
此时Rt△CDE∽Rt△DBE，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，3），A（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，3，0），
$\overrightarrow{PA}$=（0，-1，-3），$\overrightarrow{PB}$=（0，3，-3），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，0，-3$），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}=-y-3z=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{m}=3b-3c=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{m}=\sqrt{3}a-3c=0}\end{array}\right.$，取$a=\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
设平面PAC与平面PBC所成的锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{13}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{65}}{65}$．
∴平面PAC与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：法1、作角（根据定义作二面角的平面角）--证角（符合定义）--求角（解三角形）；法2、空间向量法，求得两平面的法向量，再利用向量的数量积公式求夹角的余弦值．