Question

12．已知函数f（x）=x²-2|x|+3．
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）若方程f（x）=k有四个解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）写成分段函数的形式，画出图象，）通过图象可得增区间和减区间；
（3）方程f（x）=k有四解，即为函数y=f（x）与y=k的交点有四个．通过图象观察，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3，}&{x≥0}\\{{x}^{2}+2x+3，}&{x＜0}\end{array}\right.$
函数y=f（x）的图象如右：
则函数f（x）的单调增区间为（-1，0），（1，+∞）；
减区间为（-∞，-1，（0，1）；函数的值域为[2，+∞），
（2）方程f（x）=k有四个解，
即为函数y=f（x）与y=k的交点有四个．
由图象可得2＜k＜3，
则实数k的取值范围是（2，3）．

点评 本题考查二次函数的图象和性质，考查函数方程的转化思想，以及数形结合的思想方法，属于中档题．