Question

12．已知x，y，z满足x²+4y²+9z²=a（a＞0）
（1）若x+y+z的最大值是1，求a的值；
（2）若x²+2y²+3z²=$\frac{18}{17}$，求3x+2y+z的最小值．

Answer 1

分析 根据河西不等式可直接求解．

解答 解：（1）由柯西不等式：[x2+（2y）2+（3z）2][12+（ $\frac{1}{2}$）2+（ $\frac{1}{3}$）2]≥（x+$\frac{1}{2}$×2y+$\frac{1}{3}$×3z）2，
∴$\frac{49}{36}$a≥（x+y+z）2（a＞0），
∴-$\frac{7}{6}$$\sqrt{a}$≤x+y+z≤$\frac{7}{6}$$\sqrt{a}$
∵x+y+z的最大值是1，
∴$\frac{7}{6}$$\sqrt{a}$=1，得a=$\frac{36}{49}$；
（2）由柯西不等式：[x2+（$\sqrt{2}$y）2+（$\sqrt{3}$z）2][32+（ $\sqrt{2}$）2+（ $\frac{\sqrt{3}}{3}$）2]≥（3x+2y+z）2，
∴12≥（3x+2y+z）2，
∴-2$\sqrt{3}$≤3x+2y+z≤2$\sqrt{3}$
∴3x+2y+z的最小值是-2$\sqrt{3}$．

点评 考查了柯西不等式的应用，难点是对柯西不等式的配凑．