Question

19．已知圆C：x²+（y-b）²=r²（r＞0）与直线l：x+y-2=0相切于点P（1，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点M（-2，-2），点Q为圆C上的一个动点，求$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{MQ}$的最小值；
（Ⅲ）过点P作两条相异直线与圆C相交于点A、B，且直线PA、PB的倾斜角互补，试判断直线CP与直线AB是否平行？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{1+{{（1-b）}^2}={r^2}}\\{\frac{1-b}{1-0}=1}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）设Q（x，y），则$\overrightarrow{PQ}=（x-1，y-1），\overrightarrow{MQ}=（x+2，y+2）$，利用数量积运算性质及其圆的方程即可得出．$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{MQ}$=x+y-2，记x+y=t，则y=-x+t，联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}=2}\\{y=-x+t}\end{array}}\right.$，得2x²-2tx+t²-2=0，利用△≥0，解出即可得出．
（Ⅲ）由过点P可以作两条不同直线AP，BP，且两条直线的倾斜角互补，可得两条直线的斜率存在且不为0．
设直线AP：y-1=k（x-1），则直线BP：y-1=-k（x-1），设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂）．联立得（k²+1）x²-2k（k-1）x+k²-2k-1=0，利用根与系数的关系可得坐标，再利用斜率计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{1+{{（1-b）}^2}={r^2}}\\{\frac{1-b}{1-0}=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{b=0}\\{{r^2}=2}\end{array}}\right.$，
∴圆C的方程为x²+y²=2．
（Ⅱ）设Q（x，y），则$\overrightarrow{PQ}=（x-1，y-1），\overrightarrow{MQ}=（x+2，y+2）$，
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{MQ}$=（x-1）（x+2）+（y-1）（y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2，
记x+y=t，则y=-x+t，由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}=2}\\{y=-x+t}\end{array}}\right.$，得2x²-2tx+t²-2=0，
∵方程有实根，∴△=4t²-4×2×（t²-2）=4（4-t²）≥0，
解不等式得-2≤t≤2，∴当t=-2时，x+y取最小值-2，
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{MQ}$的最小值为-4．
（Ⅲ）∵过点P可以作两条不同直线AP，BP，且两条直线的倾斜角互补，∴两条直线的斜率存在且不为0．
设直线AP：y-1=k（x-1），则直线BP：y-1=-k（x-1），设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{{x^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得（k²+1）x²-2k（k-1）x+k²-2k-1=0，
方程的解是点A、P的横坐标，于是1+${x_1}=\frac{2k（k-1）}{{{k^2}+1}}$，则${x_1}=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{{k^2}+1}}$；
同理得${x_2}=\frac{{{k^2}+2k-1}}{{{k^2}+1}}$，于是${x_1}+{x_2}=\frac{{2（{k^2}-1）}}{{{k^2}+1}}$，${x_1}-{x_2}=\frac{-4k}{{{k^2}+1}}$．
∴直线AB的斜率$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{[k（{x_1}-1）+1]-[-k（{x_2}-1）+1]}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）-2k}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，
又直线CP的斜率也为1，所以CP∥AB．

点评 本题考查了圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系及其应用、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率与平行线之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．