Question

9．在极坐标系中，直线tanθ=$\frac{1}{2}$被圆ρ=4sinθ截得的弦长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由ρ=4sinθ可得ρ²=16sin²θ=$\frac{16ta{n}^{2}θ}{ta{n}^{2}θ+1}$，把tanθ=$\frac{1}{2}$代入即可得出．

解答 解：由ρ=4sinθ可得ρ²=16sin²θ=$\frac{16si{n}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{16ta{n}^{2}θ}{ta{n}^{2}θ+1}$，
∵tanθ=$\frac{1}{2}$，∴ρ²=$\frac{16×\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{16}{5}$，
解得$ρ=\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．