Question

19．设函数f（x）=x-asinx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤cosx，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）通过x=0成立，x＞0时，问题转化为a≥$\frac{x-cosx}{sinx}$，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=x-2sinx，
f′（x）=1-2cosx，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{π}{3}$＜x≤$\frac{π}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0≤x＜$\frac{π}{3}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{3}$）递减，在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]递增；
（Ⅱ）若f（x）≤cosx，
即asinx≥x-cosx，
x=0时，显然成立，
0＜x≤$\frac{π}{2}$时，
a≥$\frac{x-cosx}{sinx}$，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，
令g（x）=$\frac{x-cosx}{sinx}$，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，
g′（x）=$\frac{1+sinx-xcosx}{{（sinx）}^{2}}$，
令h（x）=1+sinx-xcosx，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，
h′（x）=xsinx＞0，
故h（x）在（0，$\frac{π}{2}$]递增，
h（x）＞h（0）=1＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]递增，
∴g（x）_max=g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，
故a≥$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．