Question

14．已知函数f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x（x＞0），其中e为自然对数的底数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程，求得与x，y轴的交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f（x）=（1-$\frac{2}{x}$）e^x的导数为f′（x）=e^x（$\frac{2}{{x}^{2}}$+1-$\frac{2}{x}$），
可得在（1，-e）处的切线的斜率为e，
切线的方程为y+e=e（x-1），即为y=ex-2e，
令x=0，可得y=-2e；令y=0，可得x=2，
则切线与坐标轴围成的面积为：$\frac{1}{2}$×2×2e=2e；
（2）∵f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{{（x}^{2}-ax+a{）e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x²-ax+a=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}+\frac{4a{-a}^{2}}{4}$，（x＞0），
①0≤a≤4时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；
②a＜0时，令g（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
令g（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$）递减，在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，+∞）递增；
③a＞4时，令g（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$或0＜x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
令g（x）＜0，解得：$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$）递增，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$）递减，在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性，求切线的方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查运算能力，是一道中档题．