Question

7．如图，P为⊙O外的一点，直线PO与⊙O于A、B两点，C为⊙O上一点，CD⊥PO交PO于D，CA平分∠PCD．
（1）证明：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，BC=3AC，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆的切线的判断方法，证明∠PCO=90°，即可证明：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，BC=3AC，由△PAC∽△PCB求PC的长．

解答 证明：（1）连接OC，
∵AB为圆的直径，
⊥AC⊥CB，
∵CD⊥PO，
∴∠ACD=∠CBA，
∵CA平分∠PCD，
∴∠ACD=∠PCA，
∴∠PCA=∠CBA，
∵∠CBA=∠OCB，
∴∠PCA=∠OCB，
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
解：（2）由△PAC∽△PCB得$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PA}{PC}$=$\frac{CA}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{1}{3}$PB=$\frac{1}{3}$（PA+4），
∵PA=$\frac{1}{3}$PC，
∴PC=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查圆的切线的证明，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．