Question

15．如图所示，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，DD₁=2，E为DD₁的中点，连结C₁E，CE，AC，AE，AC₁，B₁E．
（1）求证：B₁E⊥AC；
（2）求点C₁到平面AEC的距离；
（3）求二面角C₁-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，推导出AC⊥平面BDD₁B₁，从而B₁E⊥AC．
（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C₁到平面AEC的距离．
（3）求出面C₁AE的法向量和平面CAE的法向量，由此利用向量法能求出二面角C₁-AE-C的余弦值．

解答 证明：（1）连结BD，∵AC⊥DB，AC⊥BB₁，BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∵B₁E?面BDD₁B₁，∴B₁E⊥AC．
解：（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，0，0），A（1，1，0），D（0，1，0），E（0，1，1），C₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{CE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），
设平面CAE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=-a+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
∴点C₁到平面AEC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}E}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（3）设面C₁AE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
又平面CAE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
设二面角C₁-AE-C的平面角为θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$．
∴二面角C₁-AE-C的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．