Question

12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{6}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+4=0，求曲线C上的点到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线的普通方程，由点到直线的距离公式可得曲线C上的点到直线的距离，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求最大距离．

解答 解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：
直线l的极坐标方程：ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+4=0，
即为x+$\sqrt{3}$y+4=0，
曲线C上的点到直线l的距离为d=$\frac{|\sqrt{6}cosα+\sqrt{6}sinα+4|}{\sqrt{1+3}}$
=$\frac{4+2\sqrt{3}sin（α+\frac{π}{4}）}{2}$=2+$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{4}$）．
当α+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，取得最大值2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式和正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题．