Question

17．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2cosθ，过点P（2，-1）的直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于M、N两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）求|PM|²+|PN|²的值．

Answer 1

分析 （1）由ρsin²θ=2cosθ得ρ²sin²θ=2ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，代入即可得出直角坐标方程．根据$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\end{array}\right.$（t为参数），消去t得普通方程．
（2）将直线l的参数方程化为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入y²=2x中，整理得${t^2}-4\sqrt{2}t-6=0$．由参数的几何意义，可知：|PM|²+|PN|²=${t}_{1}^{2}+{t}_{2}^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$-4t₁t₂即可得出．

解答 解：（1）由ρsin²θ=2cosθ得ρ²sin²θ=2ρcosθ，
∵$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，∴y²=2x；
根据$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\end{array}\right.$（t为参数），消去t得，x-y-3=0，
故曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y²=2x，x-y-3=0．
（2）将直线l的参数方程化为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入y²=2x中，
整理得${t^2}-4\sqrt{2}t-6=0$．
设t₁，t₂是该方程的两根，则$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=4\sqrt{2}\\{t_1}{t_2}=-6\end{array}\right.$，
由参数的几何意义，可知${|{PM}|^2}+{|{PN}|^2}=t_1^2+t_2^2={（{t_1}+{t_2}）^2}-2{t_1}{t_2}=44$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．