Question

5．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的方程是x²+y²-2x-4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l与圆C的极坐标方程；
（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π），以及△MON的面积．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t可得直角坐标方程：x-2y+3=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．圆C的方程是x²+y²-2x-4y=0，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{ρ（cosθ-2sinθ）+3=0}\\{ρ=2（cosθ+2sinθ）}\end{array}\right.$，消去ρ可得：可得$sinθ=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得极坐标．进而得出△MON的面积S．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去t可得直角坐标方程：x-1=2（y-2），即x-2y+3=0，
可得极坐标方程：ρcosθ-2ρsinθ+3=0．
圆C的方程是x²+y²-2x-4y=0，
把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：
ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+4sinθ．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{ρ（cosθ-2sinθ）+3=0}\\{ρ=2（cosθ+2sinθ）}\end{array}\right.$，消去ρ可得：
2（cos²θ-4sin²θ）+3=0，
可得$sinθ=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得：
$\left\{\begin{array}{l}{ρ=3\sqrt{2}}\\{θ=\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{ρ=\sqrt{2}}\\{θ=\frac{3π}{4}}\end{array}\right.$．
∴点M，N的极坐标分别为：$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$．
∴∠MON=$\frac{π}{2}$，
∴△MON的面积S=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}$=3．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．