Question

17．求正整数n与实数a，使得f（x）=asinx+cos2x在（0，nπ）上恰有2013个零点．

Answer 1

分析 运用二倍角的余弦公式，结合正弦函数的图象，由y=sinx在（0，nπ）的图象特点可得若h（t）=0的两根均小于1，则零点个数必为偶数个，由题意可得两根中必有一个为1或-1，分别讨论两根的情况，即可得到a和n，满足条件．

解答 解：f（x）=asinx+cos2x=asinx+1-2sin²x，
令sinx=t，h（t）=at+1-2t²，
由y=sinx在（0，nπ）的图象特点可得若h（t）=0的两根均小于1，
则零点个数必为偶数个，则有两根中必有一个为1或-1，
若有一个根为1，则a=1，另一个根为-$\frac{1}{2}$，由于一个周期内有3个零点，
则n=2×671=1342，恰有2013个零点；
若有一个根为-1，则a=-1，另一个根为$\frac{1}{2}$，由于一个周期内有3个零点，
则k=2×671=1342，恰有2014个零点．
综上可得，实数a=1，正整数n=1342，使得f（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数恒成立问题，同时考查正弦函数的图象和性质，熟练掌握公式和正弦函数的图象是解本题的关键．