Question

10．如图，在六面体ABCDEFG中，△ABC是边长为4正三角形，AE∥CD，AE⊥平面ABC，AE⊥平面DEFG，AE=CD=3，DG=EF=2．
（1）求该六面体的体积；
（2）求平面ACDE与平面BFG所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据条件构造正三棱柱ABC-EDH，利用割补法进行求解即可．
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的大小．

解答 解：（1）∵△ABC是边长为4正三角形，AE∥CD，AE⊥平面ABC，AE⊥平面DEFG，
∴构造正三棱柱ABC-EDH，
∵DG=EF=2．
∴F，G是EH，DH的中点，
则FG是△EDH的中位线，
∵△ABC是边长为4正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×$4×$4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，S_△FGH=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}×4\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
则三棱柱的体积为V=S_△ABC•AE=3×4$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$，
三棱锥B-FGH的体积V_B-EFG=$\frac{1}{3}$S_△FGB•BH=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×3=$\sqrt{3}$，
则六面体的体积V=V-V_B-EFG=12$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=11$\sqrt{3}$．
（2）取AC的中点O，建立以O为坐标原点，OB，OC，OG分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则OA=OC=2，OB=2$\sqrt{3}$，
则B（2$\sqrt{3}$，0，0），H（2$\sqrt{3}$，O，3），E（0，-2，3），D（0，2，3），F（$\sqrt{3}$，-1，3），G（$\sqrt{3}$，1，3），
设平面BFG的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{FG}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BG}$=（-$\sqrt{3}$，1，3），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{FG}$=2y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BG}$=-$\sqrt{3}$x+y+3z=0，
得y=0，令x=$\sqrt{3}$，z=-1，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），
平面ACDE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
则cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}×1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{π}{6}$，
即平面ACDE与平面BFG所成的锐二面角的大小为$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查空间几何体的体积的计算以及二面角的求解，根据条件利用割补法以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求二面角是解决本题的关键．