Question

18．已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4t-{1_{\;}}}\\{y=3t}\end{array}}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被圆C截得的弦长为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4t-{1_{\;}}}\\{y=3t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去t化为：3x-4y+3=0．圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．求出圆心C到直线l的距离d．利用直线l被圆C截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4t-{1_{\;}}}\\{y=3t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去t化为：3x-4y+3=0．
圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4y，配方为：x²+（y-2）²=4．可得圆心C（0，2），半径r=2．
圆心C到直线l的距离d=$\frac{|-8+3|}{5}$=1．
则直线l被圆C截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、点到直线的距离公式、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．