Question

6．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1-ax}{x-1}$）满足f（-2）=1，其中a为实常数．
（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；
（2）若不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（-2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；
（2）若不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）-（$\frac{1}{2}$）^x在x∈[2，3]上恒成立，构造函数求出最值，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1-ax}{x-1}$）满足f（-2）=1，
∴log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+2a}{-3}$）=1，
∴$\frac{1+2a}{-3}$=$\frac{1}{3}$，
解得：a=-1，
∴f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）的定义域（-∞，-1）∪（1，+∞）关于原点对称；
又∵f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1-x}{-x-1}$）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{x-1}{x+1}$）=-log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数；
（2）若不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+t在x∈[2，3]上恒成立，
则t＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）-（$\frac{1}{2}$）^x在x∈[2，3]上恒成立，
设g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（$\frac{1+x}{x-1}$）-（$\frac{1}{2}$）^x，
则g（x）在[2，3]上是增函数．
∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，
∴t＜g（2）=-$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，单调性的证明以及不等式恒成立问题，构造函数，利用参数分离法是解决函数恒成立问题的基本方法．