Question

15．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=$\sqrt{3}$DC．
（Ⅰ）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=$\sqrt{2}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出．
（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=$\sqrt{3}$x．于是sinB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AB=$\sqrt{6}$x．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{DC}{sin∠DAC}$．
∵AC=$\sqrt{3}$DC，∴sin∠ADC=$\sqrt{3}sin∠DAC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60^°＞60^°，
∴∠ADC=120°．
于是∠C=180°-120^°-30^°=30^°，∴∠B=60°．
（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=$\sqrt{3}$x．
于是sinB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AB=$\sqrt{6}$x．
在△ABD中，由余弦定理，AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB，
即${（\sqrt{2}）^2}=6{x^2}+4{x^2}-2×\sqrt{6}x×2x×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=2{x^2}$，得x=1．故DC=1．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．