Question

20．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．圆C，直线l的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求圆C与直线l的直角坐标方程，并求出直线l与圆C的交点的直角坐标；
（2）设点P为圆C的圆心，点Q为直线l被圆C截得的线段的中点．已知直线PQ的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x={t^5}+m\\ y=\frac{4}{n}{t^5}-2\end{array}$（t为参数，t∈R），求实数m，n的值．

Answer 1

分析 （1）由圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代可得直角坐标方程．直线l的极坐标方程为：ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=2$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）=2$\sqrt{2}$，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化为直角坐标方程．把y=4-x代入圆的方程解出即可得出．
（2）由（1）知：P（0，2），Q（1，3），可得直线PQ：y=x+2，化直线PQ的参数方程为普通方程：$y=\frac{4}{n}x-\frac{4m}{n}-2$，对比系数即可得出．

解答 解：（1）由圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4y，配方为x²+（y-2）²=4．
直线l的极坐标方程为：ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=2$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）=2$\sqrt{2}$，化为：x+y-4=0．
把y=4-x代入圆的方程化为：x²-2x=0，解得x=0，或2．
∴交点坐标分别为（0，4），（2，2）．
（2）由（1）知：P（0，2），Q$（\frac{0+2}{2}，\frac{4+2}{2}）$即（1，3），∴直线PQ的方程为：y=x+2，
化直线PQ的参数方程为普通方程：$y=\frac{4}{n}x-\frac{4m}{n}-2$，
对比系数得：$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{n}=1}\\{-2-\frac{4m}{n}=2}\end{array}}\right.$，m=-4，n=4．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、直线与圆相交问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．