Question

12．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD为⊙O的切线，过A作CD的垂线，垂足为D，交⊙O于F．
（1）求证：AC为∠DAB的角平分线；
（2）过C作AB的垂线，垂足为M，若⊙O的直径为8，且OM：MB=3：1，求DF•AD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，运用圆的切线的性质和两直线平行的判定和性质，由内角平分线的定义，即可得证；
（2）由AC⊥BC，CM为斜边AB上的高，运用直角三角形的射影定理，结合圆的切割线定理，即可得到所求值．

解答 解：（1）证明：连接OC，
CD为⊙O的切线，可得OC⊥CD，
又AD⊥CD，
可得OC∥AD，
所以∠CAD=∠ACO，
又OC=OA，所以∠CAO=∠ACO，
所以∠CAO=∠CAD
所以AC为∠DAB的角平分线．
（2）由题意⊙O的直径为8，OM：MB=3：1，
可得OM=3，MB=1，
由AC⊥BC，CM为斜边AB上的高，
可得CM²=AM•MB=7，
又AC=AC，∠CAO=∠CAD，
所以Rt△ACB≌Rt△ACD，
所以CD=CM，
又CD²=DF•DA，
而CD²=7．
所以DF•DA=7．

点评 本题考查圆的切线的性质和直角三角形的射影定理、切割线定理的运用，考查三角形全等和内角平分线的定义，考查推理和运算能力，属于中档题．