Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{3}$，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求证：PA∥面BDG；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求$\frac{PG}{GC}$ 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△ABD≌△CBD，BD=60°且∠BAC=30°，得到BD⊥AC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BD⊥面PAC．
（Ⅱ）证明OG∥PA，然后证明PA∥面BDG．
（Ⅲ）求出PC，说明PC⊥GD，在△PDC中，利用勾股定理求解边长，然后推出比值即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：由已知得三角形ABC是等腰三角形，且底角等于30°，
且AB=CB，AD=CD，BD=DB，⇒△ABD≌△CBD，⇒∠ABD=∠∠BD=60°且∠BAC=30°．，
所以BD⊥AC，又因为$\left.\begin{array}{l}PA⊥ABCD⇒BD⊥PA\\ BD⊥AC\end{array}\right\}⇒BD⊥PAC$； …（4分）
（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，由（1）知 O为AC中点，则OG∥PA，
又PA?面BDG，OG?面BDG，
∴PA∥面BDG               …（8分）
（Ⅲ）解：由已知得到：$PC=\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\sqrt{3+12}=\sqrt{15}$，
因为PC⊥BGD∴PC⊥GD，
在△PDC中，$PD=\sqrt{3+7}=\sqrt{10}，CD=\sqrt{7}，PC=\sqrt{15}$，
设$PG=x∴CG=\sqrt{15}-x∴10-{x^2}=7-{（\sqrt{15}-x）^2}∴PG=x=\frac{3}{5}\sqrt{15}，GC=\frac{2}{5}\sqrt{15}∴\frac{PG}{GC}=\frac{3}{2}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用．三角形的全等以及勾股定理，空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．